Plane Trigonometry

*35. Prove that in any triangle (Page 182 of Plane Trigonometry)
(a+b)/c = cos [(A-B)/2] / sin (C/2)

[Solution]

According to the law of sine, we can get

Left = (a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC

We can multiply the numerator and the denominator of the right side of the original equation by 2cos (C/2). Notice that cos(C/2) = 2sin [(A+B)/2]. Then we get

Right = 2cos [(A-B)/2] sin [(A+B)/2] / [2sin (C/2) cos (C/2)]
          = [sin (A) - sin (-B)]/ sin (C) = [ sin (A) + sin (B) ] / sin (C)
          = Left

[End of Proof]

旅卦第五十六

旅：小亨，旅，贞吉。

彖曰：旅，小亨，柔得中乎外而顺乎刚，止而丽乎明，是以小亨、旅贞吉也。旅之时义大矣哉！

初六：旅琐琐，斯其所取灾。

六二：旅即次，怀其资，得童仆，贞。

九三：旅焚其次，丧其童仆贞，厉。

九四：旅于处，得其资斧，我心不快。

六五：射雉，一矢亡，终以誉命。

上九：鸟焚其巢，旅人先笑后号咷，丧牛于易，凶。

水之中庸

洪峰居中避浅滩；枯水落槽就深泓。

黄河游荡生齐鲁；长江蜿蜒养吴楚。

无为随器见方圆；有为射流入无间。

翻云覆雨造乾坤；五洲四海主沉浮。